zbieżność zm los punktowa
Xn -p.p.->X jeśli
P[w: lim (n->niesk) Xn(w) = X(w) ] 1
gęstość
zm los ciągłe
1. f nieujemna
2. całka po całej osi R z f(x) = 1
Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego (centralne tw graniczne)
Niech Xn, n>=1, będzie ciągniem NIEZALEŻNYCH zmiennych los o tym samym rozkładzie m=EX1 sigma^2 = VarX < niesk
Niech
Yn = [(X1 + .. + Xn)-n* m] / sigma*sqrt(n)
oraz Fn bedzie dystryb Yn.
Wówczas
lim (n->niesk) Fn(x) = Φ(x), x należy R
gdzie Φ(x) jest dystr rozkładu N(0,1)
tw Kołmogorowa
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia MPWL, tzn.
(X1 + ... + Xn) / n -p.p.-> EX1
zdarzenia niezależne
P(A i B) = P(A)*P(B)
schemat bernouliego def
ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o DWÓCH możliwych wynikach sukces i porażka (0,1)
estymator zgodny
lim (n->niesk) P(|0n-0| < E) = 1 dla każdego E>0
SŁABE PRAWO WIELKICH LICZB
suma (Xk - mk) / n -P-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -P-> 0
twierdzenie poissona
lim (n-> niesk.) Pn(k)=e^(-lambda ) * (lambda^k) / k!
prawd warunkowe
P(A|B) = P (A i B) / P(B)
sigma algebra/ciało
rodzina
rodzina podzbiorów f sprłniająca warunki
1 omega nalezy do f
2 jesli A nalezy fo f to -A też należy
3 jesli A1, A2... nalezy do F to suma zdażen An = A1 suma A2 suma... nalezy do F
rozkład poissona
P(X=k) = e ^-lambda * (lambda^k)/k!
nierówność markowa
g(x)=|x|^p, p>0
P(|X|)>=E) <= E(|X|)^p / E^p
rozkład jednostajny
na przedziale <a,b>
f(x) = 1/b-a x(a,b), 0 poza
zm los scentrowana
jest taka jeżeli EX=0
mediana
kwantyl rzedu 0.5
średnia harmoniczna
n * (1/x1 + 1/x2 + .. + 1/xn)^-1
średnia arytmatyczna
x1+x2+x3+...+xn / n
uklad zupełny zdażeń
mówimy że zbiory A1, A2, A3... tqorą uklad niezaeż jeśli
1. A1 u A2 u ... u An = omega
2. Ai u Aj = /0
3. P(Ai)>0
dystrybuanta własności
1. F(x) jest niemalejąca
2. lim(n->-niesk) F(x) = 0, lim(n->+niesk) F(x) = 1
3. F(x) jest prawostronnie ciągła
dystrybuanta ciągłe
całka od niesk do x z f(t)dt
miara prawdopodobieństwa (propabilistyczna)
funkcja 3 war
to funkcja prawdopodo. P: F-> <0, +nies) spełniającą wrunki
1 P(omega)=1
2 dla A1,A2,A3... należy do F, Ai iloczyn Aj = /0, i=/=j to
prawdopodob. sumy zdazen = suma prawdopodoieństw
wartośc oczekiwana skokowe
moment 1 rzędu
EX = SUMA xi * pi
wartość oczekiwana ciągłe
całka na R z x*f(x) dx
nierówność Cauchy'ego-Schwarza
jeśli EX^2 < niesk i EY^2 < niesk to
|EXY| <= sqrt ( EX^2 * EY^2 )
CoV(XY)
=EXY - EX*EY
niezależnośc zm los X i Y
jeśli mam yX i Y to warunek ten oznacza ze dla danych B1, B2 należy do B(R) zdarzenia X1, Y1 są niezależne (X nalezy do B1, Y do B2)
P(X1 i Y1) = P(X1) * P(Y1)
twierdzenie Poissona
przeprowadzanie prób Bernouliego tak długo że n-> niesk. i p->0
MOCNE PRAWO WIELKICH LICZB
suma (Xk - mk) / n -p.p.-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -p.p.-> 0
zmienne losowe niezależne skokowe
P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)
moment n rzędu skokowe
E(X^n) = SUMA xi^k * pi
tw Markowa
niech Xn, n>=1, będzie ciągiem zmienn los o skończonych Var. jeżeli
lim (n -> niesk) [Var(X1+...+Xn)] / n^2 =0
to ciąg Xn spełnia SPWL (słabe prawo liczb))
zm los ciągła def
funkcja omega ->R
wriancja dyskretne
VarX = EX^2 - (EX)^2
moment k rzędu ciągłe
całka na R z x^k * f(x) dx
wzór Bayesa
P(Bi | A) = [ P(A|Bi) * P(Bi) ] / [ suma od j=1 do n P(A | Bj) * P(Bj) ]
estymator nieobciążony
E(0n) = 0 dla kazdego n>=2
zm los standaryzowana
+tandaruzacja zm los
X~~N(mi, sigma^2)
ogólnie nie mogę zdjecia dodać więc trzeba spriwadzić do formy (X-m)/sigma
https://ibb.co/4MHz5Cp
tw Chinczyna
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia SPWL, tzn.
dla każdego E>0 lim(n->niesk) P[ |(X1+...+Xn)/n -m| >E] =0
zmienna los. def
funkcja mierzalna z omega w R
zmienna los dyskretna
X - z niezerowym prawdopodobieństwem przyjmuje skończone lub przeliczalnie wiele wartości
suma Pi = 1
nierówność czebyszewa
g(x) = x^2
dla każdego P(|X|>=E) <= E(X^2) / E^2
Mediana
P(X<= Me(X) ) >= 1/2
me= x_((n+1)/2) dla n nieparzystego
1/2 (x_n/2 + x_n/2+1) dla n parzystego
twierdzenie pascala wzór
Pk(n) = (n-1/k-1) * p^k * q^n-k
zagadnienie/schemat Pascala def
Przeprowadzanie prób bernouliego tak dłogu aż uzyskamy k sukcesów
Tw o ciągłości miary propabilist
zawieranie się, wstępująca i zstępująca
1 Jeśli a1<a2<a3... i A=suma ai to lim P(An) = P(A)
2 Jeśli a1>a2>a3... i A=iloczyn ai to lim P(An) = P(A)
rozkład normalny Gaussowski
f(x) = 1/sqrt(2 pi) * e^[- (x-m)^2 / 2 * sigma^2 ]
dystrybuanta def
funkcja F: R -> <0,1> dana wzorem
F(x) = P(X<=x)
zbieżność zm los wg prawdopodobieństwa
Xn -P->X jeśli
dla każdego (E>0) lim (n->niesk) P(|Xn - X| >E )=0
rozkład Cauchy'ego
f(x) = 1/pi * lambda / [l ambda^2 = (x-mi)^2 ] x,m należ R, lambda <0
kwantyk rzedu p
P(X<=xp)>=p
rozkład wykładniczy
f(x) = lambda * e^-lambda*x dla x>=0
rozkład dwumianowy
N i p [0,1]
P(X = k) (n/k) p^k * q^n-k
(bernouli)
zbieżność zm los wg rozkładu (dystrybuanty)
Xn -F->X
lim (n->niesk) Fn(x) = F(x) , x nalezy do R
prawdopodo całokwite wzór
P(A) = suma i=1 do n P(A | Bi) * P(Bi)
zbieżność zm los wg ptego momentu
Xn -L^p->X
lim (N->niesk) E|Xn - X|^p =0, pnależy N, p>=1
twierdzenie bernouliego wzór
Pn(k) = (n/k) * p^k * q^n-1
średnia geoetryczna
n qrt(x1*x2*...*xn)
Tw przeliczalny zbiór zdarzeń element.
jeśli omega = {w1, w2..} i dla kazdego i:{wi nalezy do F} P jest prawd., to dla każdego A zawiera się w moega P(A) = suma Pi
współ korelacji zm los X Y
ro = CoV / sqrt( varX * varY )
