Wybieranie: niezdaj

Xn -p.p.->X jeśli
P[w: lim (n->niesk) Xn(w) = X(w) ] 1

moment 1 rzędu
EX = SUMA xi * pi

całka na R z x*f(x) dx

f(x) = 1/sqrt(2 pi) * e^[- (x-m)^2 / 2 * sigma^2 ]

Niech Xn, n>=1, będzie ciągniem NIEZALEŻNYCH zmiennych los o tym samym rozkładzie m=EX1 sigma^2 = VarX < niesk
Niech
Yn = [(X1 + .. + Xn)-n* m] / sigma*sqrt(n)
oraz Fn bedzie dystryb Yn.
Wówczas
lim (n->niesk) Fn(x) = Φ(x), x należy R
gdzie Φ(x) jest dystr rozkładu N(0,1)

P(X=k) = e ^-lambda * (lambda^k)/k!

1. f nieujemna
2. całka po całej osi R z f(x) = 1

=EXY - EX*EY

Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia SPWL, tzn.
dla każdego E>0 lim(n->niesk) P[ |(X1+...+Xn)/n -m| >E] =0

1. F(x) jest niemalejąca
2. lim(n->-niesk) F(x) = 0, lim(n->+niesk) F(x) = 1
3. F(x) jest prawostronnie ciągła

suma (Xk - mk) / n -p.p.-> 0
od k=1 do n

[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -p.p.-> 0

Przeprowadzanie prób bernouliego tak dłogu aż uzyskamy k sukcesów

funkcja omega ->R

lim (n-> niesk.) Pn(k)=e^(-lambda ) * (lambda^k) / k!

całka na R z x^k * f(x) dx

E(0n) = 0 dla kazdego n>=2

P(X<= Me(X) ) >= 1/2

me= x_((n+1)/2) dla n nieparzystego
1/2 (x_n/2 + x_n/2+1) dla n parzystego

E(X^n) = SUMA xi^k * pi

funkcja mierzalna z omega w R

Pk(n) = (n-1/k-1) * p^k * q^n-k

Xn -F->X
lim (n->niesk) Fn(x) = F(x) , x nalezy do R

lim (n->niesk) P(|0n-0| < E) = 1 dla każdego E>0

P(Bi | A) = [ P(A|Bi) * P(Bi) ] / [ suma od j=1 do n P(A | Bj) * P(Bj) ]

przeprowadzanie prób Bernouliego tak długo że n-> niesk. i p->0

Xn -P->X jeśli
dla każdego (E>0) lim (n->niesk) P(|Xn - X| >E )=0

g(x) = x^2
dla każdego P(|X|>=E) <= E(X^2) / E^2

VarX = EX^2 - (EX)^2

P(X<=xp)>=p

Pn(k) = (n/k) * p^k * q^n-1

n qrt(x1*x2*...*xn)

Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia MPWL, tzn.
(X1 + ... + Xn) / n -p.p.-> EX1

f(x) = lambda * e^-lambda*x dla x>=0

funkcja F: R -> <0,1> dana wzorem
F(x) = P(X<=x)

x1+x2+x3+...+xn / n

całka od niesk do x z f(t)dt

X~~N(mi, sigma^2)

ogólnie nie mogę zdjecia dodać więc trzeba spriwadzić do formy (X-m)/sigma
https://ibb.co/4MHz5Cp

P(A i B) = P(A)*P(B)

P(X = k) (n/k) p^k * q^n-k
(bernouli)

jeśli EX^2 < niesk i EY^2 < niesk to
|EXY| <= sqrt ( EX^2 * EY^2 )

suma (Xk - mk) / n -P-> 0
od k=1 do n

[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -P-> 0

P(A) = suma i=1 do n P(A | Bi) * P(Bi)

g(x)=|x|^p, p>0
P(|X|)>=E) <= E(|X|)^p / E^p

Xn -L^p->X
lim (N->niesk) E|Xn - X|^p =0, pnależy N, p>=1

mówimy że zbiory A1, A2, A3... tqorą uklad niezaeż jeśli
1. A1 u A2 u ... u An = omega
2. Ai u Aj = /0
3. P(Ai)>0

1 Jeśli a1<a2<a3... i A=suma ai to lim P(An) = P(A)
2 Jeśli a1>a2>a3... i A=iloczyn ai to lim P(An) = P(A)

niech Xn, n>=1, będzie ciągiem zmienn los o skończonych Var. jeżeli
lim (n -> niesk) [Var(X1+...+Xn)] / n^2 =0
to ciąg Xn spełnia SPWL (słabe prawo liczb))

n * (1/x1 + 1/x2 + .. + 1/xn)^-1

jeśli mam yX i Y to warunek ten oznacza ze dla danych B1, B2 należy do B(R) zdarzenia X1, Y1 są niezależne (X nalezy do B1, Y do B2)
P(X1 i Y1) = P(X1) * P(Y1)

P(A|B) = P (A i B) / P(B)

f(x) = 1/pi * lambda / [l ambda^2 = (x-mi)^2 ] x,m należ R, lambda <0

rodzina podzbiorów f sprłniająca warunki
1 omega nalezy do f
2 jesli A nalezy fo f to -A też należy
3 jesli A1, A2... nalezy do F to suma zdażen An = A1 suma A2 suma... nalezy do F

kwantyl rzedu 0.5

X - z niezerowym prawdopodobieństwem przyjmuje skończone lub przeliczalnie wiele wartości
suma Pi = 1

jest taka jeżeli EX=0

ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o DWÓCH możliwych wynikach sukces i porażka (0,1)

f(x) = 1/b-a x(a,b), 0 poza

to funkcja prawdopodo. P: F-> <0, +nies) spełniającą wrunki
1 P(omega)=1
2 dla A1,A2,A3... należy do F, Ai iloczyn ...

ro = CoV / sqrt( varX * varY )

P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)

jeśli omega = {w1, w2..} i dla kazdego i:{wi nalezy do F} P jest prawd., to dla każdego A zawiera się w moega P(A) = suma Pi