funkcja F: R -> <0,1> dana wzorem
F(x) = P(X<=x)
to funkcja prawdopodo. P: F-> <0, +nies) spełniającą wrunki
1 P(omega)=1
2 dla A1,A2,A3... należy do F, Ai iloczyn ...
estymator nieobciążony
zbieżność zm los wg rozkładu (dystrybuanty)
n * (1/x1 + 1/x2 + .. + 1/xn)^-1
f(x) = 1/sqrt(2 pi) * e^[- (x-m)^2 / 2 * sigma^2 ]
suma (Xk - mk) / n -p.p.-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -p.p.-> 0
nierówność Cauchy'ego-Schwarza
sigma algebra/ciało
niezależnośc zm los X i Y
nierówność czebyszewa
n qrt(x1*x2*...*xn)
wartośc oczekiwana skokowe
kwantyl rzedu 0.5
f(x) = 1/b-a x(a,b), 0 poza
współ korelacji zm los X Y
rozkład wykładniczy
X - z niezerowym prawdopodobieństwem przyjmuje skończone lub przeliczalnie wiele wartości
suma Pi = 1
Tw o ciągłości miary propabilist
mówimy że zbiory A1, A2, A3... tqorą uklad niezaeż jeśli
1. A1 u A2 u ... u An = omega
2. Ai u Aj = /0
3. P(Ai)>0
prawdopodo całokwite wzór
P(A) = suma i=1 do n P(A | Bi) * P(Bi)
Tw przeliczalny zbiór zdarzeń element.
1. F(x) jest niemalejąca
2. lim(n->-niesk) F(x) = 0, lim(n->+niesk) F(x) = 1
3. F(x) jest prawostronnie ciągła
niech Xn, n>=1, będzie ciągiem zmienn los o skończonych Var. jeżeli
lim (n -> niesk) [Var(X1+...+Xn)] / n^2 =...
rozkład Cauchy'ego
P(X<=xp)>=p
zmienna los dyskretna
kwantyk rzedu p
całka od niesk do x z f(t)dt
f(x) = 1/pi * lambda / [l ambda^2 = (x-mi)^2 ] x,m należ R, lambda <0
gęstość
moment n rzędu skokowe
P(X = k) (n/k) p^k * q^n-k
(bernouli)
uklad zupełny zdażeń
rodzina podzbiorów f sprłniająca warunki
1 omega nalezy do f
2 jesli A nalezy fo f to -A też należy
3 jesli A1, A2...
funkcja mierzalna z omega w R
lim (n->niesk) P(|0n-0| < E) = 1 dla każdego E>0
dystrybuanta def
P(X<= Me(X) ) >= 1/2
me= x_((n+1)/2) dla n nieparzystego
1/2 (x_n/2 + x_n/2+1) dla n parzystego
1. f nieujemna
2. całka po całej osi R z f(x) = 1
wartość oczekiwana ciągłe
dystrybuanta ciągłe
moment k rzędu ciągłe
suma (Xk - mk) / n -P-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -P-> 0
x1+x2+x3+...+xn / n
P(A i B) = P(A)*P(B)
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia MPWL, tz...
Niech Xn, n>=1, będzie ciągniem NIEZALEŻNYCH zmiennych los o tym samym rozkładzie m=EX1 sigma^2 = VarX < niesk
N...
całka na R z x^k * f(x) dx
tw Kołmogorowa
g(x)=|x|^p, p>0
P(|X|)>=E) <= E(|X|)^p / E^p
zmienne losowe niezależne skokowe
przeprowadzanie prób Bernouliego tak długo że n-> niesk. i p->0
MOCNE PRAWO WIELKICH LICZB
Przeprowadzanie prób bernouliego tak dłogu aż uzyskamy k sukcesów
SŁABE PRAWO WIELKICH LICZB
zm los scentrowana
miara prawdopodobieństwa (propabilistyczna)
tw Markowa
P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)
P(A|B) = P (A i B) / P(B)
Mediana
ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o DWÓCH możliwych wynikach sukces i porażka (0,1)
zbieżność zm los wg ptego momentu
Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego (centralne tw graniczne)
średnia arytmatyczna
P(Bi | A) = [ P(A|Bi) * P(Bi) ] / [ suma od j=1 do n P(A | Bj) * P(Bj) ]
wriancja dyskretne
f(x) = lambda * e^-lambda*x dla x>=0
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia SPWL, t...
E(0n) = 0 dla kazdego n>=2
schemat bernouliego def
jeśli mam yX i Y to warunek ten oznacza ze dla danych B1, B2 należy do B(R) zdarzenia X1, Y1 są niezależne (X nalezy ...
zbieżność zm los wg prawdopodobieństwa
twierdzenie poissona
rozkład jednostajny
estymator zgodny
jeśli EX^2 < niesk i EY^2 < niesk to
|EXY| <= sqrt ( EX^2 * EY^2 )
twierdzenie bernouliego wzór
zm los ciągła def
rozkład normalny Gaussowski
Xn -P->X jeśli
dla każdego (E>0) lim (n->niesk) P(|Xn - X| >E )=0
CoV(XY)
rozkład dwumianowy
nierówność markowa
Xn -L^p->X
lim (N->niesk) E|Xn - X|^p =0, pnależy N, p>=1
mediana
zm los standaryzowana
twierdzenie Poissona
1 Jeśli a1<a2<a3... i A=suma ai to lim P(An) = P(A)
2 Jeśli a1>a2>a3... i A=iloczyn ai to lim P(An) = P(A)
zbieżność zm los punktowa
średnia harmoniczna
P(X=k) = e ^-lambda * (lambda^k)/k!
całka na R z x*f(x) dx
Xn -F->X
lim (n->niesk) Fn(x) = F(x) , x nalezy do R
dystrybuanta własności
twierdzenie pascala wzór
jest taka jeżeli EX=0
wzór Bayesa
moment 1 rzędu
EX = SUMA xi * pi
g(x) = x^2
dla każdego P(|X|>=E) <= E(X^2) / E^2
zagadnienie/schemat Pascala def
Pn(k) = (n/k) * p^k * q^n-1
X~~N(mi, sigma^2)
ogólnie nie mogę zdjecia dodać więc trzeba spriwadzić do formy (X-m)/sigma
https://ibb.co/4MHz5Cp
jeśli omega = {w1, w2..} i dla kazdego i:{wi nalezy do F} P jest prawd., to dla każdego A zawiera się w moega P(A) = ...
VarX = EX^2 - (EX)^2
Xn -p.p.->X jeśli
P[w: lim (n->niesk) Xn(w) = X(w) ] 1
tw Chinczyna
prawd warunkowe
średnia geoetryczna
zmienna los. def
zdarzenia niezależne
funkcja omega ->R
=EXY - EX*EY
Pk(n) = (n-1/k-1) * p^k * q^n-k
E(X^n) = SUMA xi^k * pi
lim (n-> niesk.) Pn(k)=e^(-lambda ) * (lambda^k) / k!
rozkład poissona
ro = CoV / sqrt( varX * varY )
