Pisanie: niezdaj
1 / 60
2 / 60
to funkcja prawdopodo. P: F-> <0, +nies) spełniającą wrunki
1 P(omega)=1
2 dla A1,A2,A3... należy do F, Ai iloczyn ...
Odpowiedź
Litery
a
y
o
w
)
b
a
o
i
o
p
p
a
m
r
s
o
b
z
i
i
s
c
a
t
i
d
t
w
e
ń
p
p
l
r
(
n
a
r
d
a
3 / 60
X~~N(mi, sigma^2)
ogólnie nie mogę zdjecia dodać więc trzeba spriwadzić do formy (X-m)/sigma
https://ibb.co/4MHz5Cp
Odpowiedź
Litery
a
o
y
a
w
s
z
l
n
o
a
t
d
a
r
s
n
m
z
4 / 60
moment 1 rzędu
EX = SUMA xi * pi
Odpowiedź
Litery
e
a
o
o
k
w
o
e
o
r
c
t
ś
a
i
c
w
k
s
a
z
n
w
k
5 / 60
1 Jeśli a1<a2<a3... i A=suma ai to lim P(An) = P(A)
2 Jeśli a1>a2>a3... i A=iloczyn ai to lim P(An) = P(A)
Odpowiedź
Litery
b
t
i
o
ś
c
m
a
g
r
o
p
i
ą
a
s
i
o
y
c
ł
t
l
p
w
i
i
r
6 / 60
jeśli omega = {w1, w2..} i dla kazdego i:{wi nalezy do F} P jest prawd., to dla każdego A zawiera się w moega P(A) = suma Pi
Odpowiedź
Litery
ó
l
z
e
a
n
d
y
r
e
e
z
i
.
a
n
i
ń
r
z
r
p
l
e
z
t
w
z
c
b
e
t
m
l
7 / 60
x1+x2+x3+...+xn / n
Odpowiedź
Litery
a
t
t
c
d
a
e
ś
n
z
a
r
r
m
y
i
a
y
n
8 / 60
P(X<=xp)>=p
Odpowiedź
Litery
r
u
n
t
p
w
d
a
y
z
e
k
k
9 / 60
P(X = k) (n/k) p^k * q^n-k
(bernouli)
Odpowiedź
Litery
ł
w
k
a
y
d
o
o
a
i
m
w
r
u
n
d
z
10 / 60
całka od niesk do x z f(t)dt
Odpowiedź
Litery
g
ł
c
a
t
y
d
n
u
y
e
i
ą
r
b
t
s
a
11 / 60
Xn -P->X jeśli
dla każdego (E>0) lim (n->niesk) P(|Xn - X| >E )=0
Odpowiedź
Litery
t
a
g
i
z
b
ś
w
r
a
n
m
d
b
ż
o
d
p
w
s
o
z
e
e
o
w
s
o
ń
o
l
i
ć
p
12 / 60
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia MPWL, tzn.
(X1 + ... + Xn) / n -p.p.-> EX1
Odpowiedź
Litery
o
o
o
w
k
o
w
t
r
a
m
ł
g
13 / 60
P(A|B) = P (A i B) / P(B)
Odpowiedź
Litery
o
w
r
n
k
d
w
p
u
w
r
a
a
e
14 / 60
Xn -L^p->X
lim (N->niesk) E|Xn - X|^p =0, pnależy N, p>=1
Odpowiedź
Litery
m
n
p
i
z
b
o
o
m
ś
m
o
e
g
e
z
t
t
s
e
g
ż
o
ć
w
n
u
l
15 / 60
funkcja omega ->R
Odpowiedź
Litery
o
ł
m
a
i
d
f
g
e
s
c
l
z
ą
16 / 60
P(X=k) = e ^-lambda * (lambda^k)/k!
Odpowiedź
Litery
r
ł
i
z
o
n
k
a
d
s
o
o
s
p
a
17 / 60
g(x) = x^2
dla każdego P(|X|>=E) <= E(X^2) / E^2
Odpowiedź
Litery
e
y
n
i
ó
ś
b
o
r
c
w
a
s
ć
z
n
z
w
e
e
18 / 60
1. F(x) jest niemalejąca
2. lim(n->-niesk) F(x) = 0, lim(n->+niesk) F(x) = 1
3. F(x) jest prawostronnie ciągła
Odpowiedź
Litery
t
a
c
y
n
ł
s
s
r
y
t
n
o
u
w
d
a
ś
i
b
a
19 / 60
suma (Xk - mk) / n -p.p.-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -p.p.-> 0
Odpowiedź
Litery
w
o
i
i
c
z
b
k
o
r
w
c
a
p
e
h
i
n
l
m
l
c
e
20 / 60
funkcja F: R -> <0,1> dana wzorem
F(x) = P(X<=x)
Odpowiedź
Litery
u
y
b
t
t
a
s
d
y
d
f
n
a
e
r
21 / 60
P(A i B) = P(A)*P(B)
Odpowiedź
Litery
e
n
e
d
e
a
i
l
i
a
n
z
z
a
e
r
n
z
ż
22 / 60
f(x) = 1/pi * lambda / [l ambda^2 = (x-mi)^2 ] x,m należ R, lambda <0
Odpowiedź
Litery
h
u
g
a
y
c
o
z
d
e
'
a
c
o
ł
k
r
23 / 60
f(x) = lambda * e^-lambda*x dla x>=0
Odpowiedź
Litery
y
d
c
o
d
a
i
w
r
z
a
n
z
ł
ł
k
y
k
24 / 60
n * (1/x1 + 1/x2 + .. + 1/xn)^-1
Odpowiedź
Litery
a
z
o
d
m
i
r
ś
n
n
i
r
c
a
e
a
n
h
25 / 60
funkcja mierzalna z omega w R
Odpowiedź
Litery
o
e
n
i
.
m
e
z
a
s
l
n
f
d
26 / 60
Xn -F->X
lim (n->niesk) Fn(x) = F(x) , x nalezy do R
Odpowiedź
Litery
b
z
w
y
z
ś
m
ż
i
z
n
y
k
o
)
e
d
g
ć
t
u
s
s
r
y
r
b
o
a
o
u
n
a
ł
(
d
t
l
27 / 60
n qrt(x1*x2*...*xn)
Odpowiedź
Litery
g
y
e
d
r
r
a
n
i
z
c
ś
e
a
t
n
e
o
28 / 60
Pn(k) = (n/k) * p^k * q^n-1
Odpowiedź
Litery
w
r
w
e
n
e
b
r
i
r
e
o
z
i
o
i
t
ó
g
n
e
u
d
l
z
e
29 / 60
Pk(n) = (n-1/k-1) * p^k * q^n-k
Odpowiedź
Litery
z
w
r
z
s
c
a
p
n
d
e
l
t
a
w
e
ó
r
a
i
i
e
30 / 60
P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)
Odpowiedź
Litery
l
ż
l
o
i
i
s
k
e
o
n
w
z
n
a
o
e
o
s
e
n
e
n
w
e
k
e
m
e
z
31 / 60
jeśli EX^2 < niesk i EY^2 < niesk to
|EXY| <= sqrt ( EX^2 * EY^2 )
Odpowiedź
Litery
n
ś
a
ó
s
e
c
c
a
a
o
z
w
'
i
e
u
y
r
w
-
r
h
c
n
o
ć
h
g
32 / 60
P(Bi | A) = [ P(A|Bi) * P(Bi) ] / [ suma od j=1 do n P(A | Bj) * P(Bj) ]
Odpowiedź
Litery
z
ó
a
w
e
r
s
b
y
a
33 / 60
ro = CoV / sqrt( varX * varY )
Odpowiedź
Litery
i
ł
ó
c
j
o
s
w
p
r
z
a
o
e
y
m
l
s
l
k
x
34 / 60
kwantyl rzedu 0.5
Odpowiedź
Litery
n
d
m
e
a
i
a
35 / 60
E(0n) = 0 dla kazdego n>=2
Odpowiedź
Litery
s
c
y
i
b
e
r
o
n
e
a
t
ż
m
i
n
t
y
o
o
ą
36 / 60
lim (n->niesk) P(|0n-0| < E) = 1 dla każdego E>0
Odpowiedź
Litery
r
a
m
t
o
g
z
n
e
s
y
o
d
t
y
37 / 60
f(x) = 1/sqrt(2 pi) * e^[- (x-m)^2 / 2 * sigma^2 ]
Odpowiedź
Litery
a
a
o
u
m
y
r
s
k
s
o
n
n
r
z
ł
a
o
s
i
l
w
g
k
d
38 / 60
całka na R z x^k * f(x) dx
Odpowiedź
Litery
d
ę
u
ą
ł
g
e
t
r
o
n
c
m
e
k
z
m
i
39 / 60
całka na R z x*f(x) dx
Odpowiedź
Litery
a
w
o
t
o
c
r
i
w
a
i
e
z
c
ł
ś
n
g
a
e
ą
ć
k
40 / 60
ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o DWÓCH możliwych wynikach sukces i porażka (0,1)
Odpowiedź
Litery
e
u
s
d
o
m
b
l
r
e
h
a
e
c
e
f
t
g
i
o
n
41 / 60
niech Xn, n>=1, będzie ciągiem zmienn los o skończonych Var. jeżeli
lim (n -> niesk) [Var(X1+...+Xn)] / n^2 =0
to ciąg Xn spełnia SPWL (słabe prawo liczb))
Odpowiedź
Litery
k
t
w
w
r
o
a
a
m
42 / 60
Niech Xn, n>=1, będzie ciągniem NIEZALEŻNYCH zmiennych los o tym samym rozkładzie m=EX1 sigma^2 = VarX < niesk
Niech
Yn = [(X1 + .. + Xn)-n* m] / sigma*sqrt(n)
oraz Fn bedzie dystryb Yn.
Wówczas
lim (n->niesk) Fn(x) = Φ(x), x należy R
gdzie Φ(x) jest dystr rozkładu N(0,1)
Odpowiedź
Litery
a
n
g
r
z
d
l
l
n
t
r
w
w
e
g
r
n
e
e
i
y
i
c
o
n
e
e
c
d
e
z
'
t
e
i
e
t
g
b
l
i
a
n
n
)
e
v
r
-
e
(
a
43 / 60
przeprowadzanie prób Bernouliego tak długo że n-> niesk. i p->0
Odpowiedź
Litery
r
o
w
i
t
d
a
o
e
i
z
e
n
s
n
s
i
e
p
44 / 60
f(x) = 1/b-a x(a,b), 0 poza
Odpowiedź
Litery
d
y
e
a
k
j
n
o
s
n
o
d
a
ł
z
t
r
j
45 / 60
mówimy że zbiory A1, A2, A3... tqorą uklad niezaeż jeśli
1. A1 u A2 u ... u An = omega
2. Ai u Aj = /0
3. P(Ai)>0
Odpowiedź
Litery
z
a
ń
d
u
z
ł
y
l
e
d
p
k
u
n
a
e
ż
46 / 60
jeśli mam yX i Y to warunek ten oznacza ze dla danych B1, B2 należy do B(R) zdarzenia X1, Y1 są niezależne (X nalezy do B1, Y do B2)
P(X1 i Y1) = P(X1) * P(Y1)
Odpowiedź
Litery
s
e
ś
ż
z
l
i
z
l
i
n
y
n
e
x
a
o
m
o
c
47 / 60
suma (Xk - mk) / n -P-> 0
od k=1 do n
[ (X1+..+Xn) - (E(X1) + .. + E(Xn)) ] /n -P-> 0
Odpowiedź
Litery
i
h
b
ł
s
a
i
k
e
w
c
e
i
a
b
c
o
r
l
z
l
w
p
48 / 60
jest taka jeżeli EX=0
Odpowiedź
Litery
e
n
s
c
r
n
a
z
l
s
o
o
a
m
t
w
49 / 60
=EXY - EX*EY
Odpowiedź
Litery
o
x
)
v
(
y
c
50 / 60
Przeprowadzanie prób bernouliego tak dłogu aż uzyskamy k sukcesów
Odpowiedź
Litery
c
e
s
a
e
m
e
d
z
d
a
g
s
a
/
i
h
p
a
n
c
i
n
a
a
f
l
e
t
51 / 60
P(X<= Me(X) ) >= 1/2
me= x_((n+1)/2) dla n nieparzystego
1/2 (x_n/2 + x_n/2+1) dla n parzystego
Odpowiedź
Litery
e
a
i
d
n
a
m
52 / 60
Xn -p.p.->X jeśli
P[w: lim (n->niesk) Xn(w) = X(w) ] 1
Odpowiedź
Litery
u
o
b
z
w
z
n
o
ś
m
s
n
k
l
i
a
e
o
p
t
ć
ż
53 / 60
VarX = EX^2 - (EX)^2
Odpowiedź
Litery
s
r
n
e
a
t
e
j
r
n
w
c
a
d
y
k
i
54 / 60
rodzina podzbiorów f sprłniająca warunki
1 omega nalezy do f
2 jesli A nalezy fo f to -A też należy
3 jesli A1, A2... nalezy do F to suma zdażen An = A1 suma A2 suma... nalezy do F
Odpowiedź
Litery
i
a
s
c
o
e
a
ł
a
/
g
i
g
m
a
b
r
l
55 / 60
g(x)=|x|^p, p>0
P(|X|)>=E) <= E(|X|)^p / E^p
Odpowiedź
Litery
r
n
o
r
w
o
ó
a
a
n
m
w
e
ś
i
ć
k
56 / 60
X - z niezerowym prawdopodobieństwem przyjmuje skończone lub przeliczalnie wiele wartości
suma Pi = 1
Odpowiedź
Litery
d
n
o
e
k
i
e
r
m
n
s
n
s
l
z
a
t
a
y
57 / 60
1. f nieujemna
2. całka po całej osi R z f(x) = 1
Odpowiedź
Litery
s
o
ś
ć
ę
t
g
58 / 60
lim (n-> niesk.) Pn(k)=e^(-lambda ) * (lambda^k) / k!
Odpowiedź
Litery
r
n
o
n
e
s
d
i
a
o
i
t
p
z
s
e
i
e
w
59 / 60
Każdy ciąg Xn, n>=1, NIEZALEŻNYCH zmiennych los o jendakowych rozkladach i skończonej średniej m=EX1 spełnia SPWL, tzn.
dla każdego E>0 lim(n->niesk) P[ |(X1+...+Xn)/n -m| >E] =0
Odpowiedź
Litery
c
h
y
z
n
w
a
n
t
c
i
60 / 60
E(X^n) = SUMA xi^k * pi
Odpowiedź
Litery
z
k
n
o
n
d
o
t
m
k
m
o
s
w
e
e
ę
u
r
–
poprawności
0Poprawne
0Błędy
0:00Czas
